这是高等数学中的常用公式合集，使用 MathJax 渲染，适用于 Hugo 博客。
一、极限与连续
数列极限
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = A $$
函数极限
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$
无穷小与无穷大
$$ \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \quad (\text{无穷小}) $$
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \quad (\text{无穷大}) $$
洛必达法则
$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} \quad \text{（0/0 型或 ∞/∞ 型）} $$
二、导数与微分
导数定义
$$ f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$
常见函数导数
$$ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}, \quad \frac{d}{dx} \sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx} e^x = e^x $$
微分
$$ dy = f’(x),dx $$
三、微分中值定理
罗尔定理
若 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得： $$ f’(\xi) = 0 $$
拉格朗日中值定理
$$ f’(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$
柯西中值定理
$$ \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} $$
四、不定积分
基本积分表
$$ \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1) $$
$$ \int e^x , dx = e^x + C, \quad \int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C $$
五、定积分
定积分定义
$$ \int_a^b f(x),dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x $$
牛顿-莱布尼茨公式
$$ \int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a) $$
六、积分技巧
换元积分法
若 $x = \varphi(t)$，则： $$ \int f(x),dx = \int f(\varphi(t)) \varphi’(t),dt $$
分部积分法
$$ \int u,dv = uv - \int v,du $$
七、曲线积分
第一类曲线积分
$$ \int_L f(x, y), ds $$
第二类曲线积分
$$ \int_L P(x, y),dx + Q(x, y),dy $$
八、二重积分
直角坐标系下
$$ \iint_D f(x, y), dx,dy $$
极坐标下
$$ \iint_D f(r, \theta), r,dr,d\theta $$
九、其他重要公式
泰勒展开（以 $x = a$ 展开）
$$ f(x) = f(a) + f’(a)(x - a) + \frac{f’’(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots $$
麦克劳林展开（$a = 0$）
$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $$
以上是高等数学中常见的重要公式，建议配合图形、例题或练习一起使用，帮助记忆和理解。